Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа два с натуральными показателями: два, два квадрат, два куб, два четвертой степени и так далее.

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на два. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Иначе говоря, последовательность бэ энное – геометрическая прогрессия. Если для любого натурального эн выполняются условия бэ энное не равно нулю и бэ с индексом эн плюс один равно бэ энному, умноженному на ку, где ку – некоторое число.

Обозначим, например, через бэ энное последовательность натуральных степеней числа два. В этом случае для любого натурального эн верно равенство бэ с индексом эн плюс один равно удвоенному бэ энному, здесь ку равно двум.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно ку, то есть при любом натуральном эн верно равенство:

Отношение бэ с индексом эн плюс один к бэ энному равно ку.

Число ку называется знаменателем геометрической прогрессии. Понятно, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.

Для задания геометрической прогрессии достаточно указать первый ее член и знаменатель.

Приведем примеры.

Если бэ первое равно единице и знаменатель равен одной десятой, то получим геометрическую прогрессию: один, одна десятая, одна сотая, одна тысячная…

Условиями бэ первое равно минус четырем и ку равно трем задается геометрическая прогрессия: минус четыре, минус двенадцать, минус тридцать шесть и так далее.

Если бэ первое равно трем и ку равно минус двум, то имеем прогрессию… три, минус шесть, двенадцать, минус двадцать четыре и так далее.

Если бэ первое равно шести и ку равно единице, то получится геометрическая прогрессия шесть, шесть, шесть, шесть и так далее.

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий и вообще любой ее член……

Вообще, чтобы найти бэ энное, мы должны бэ первое умножить на ку степени эн минус один.

Мы получили формулу энного члена геометрической прогрессии.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Первый пример. В геометрической прогрессии бэ первое равно восьми, ку равно одной второй. Найдем пятый член данной прогрессии.

По формуле энного члена геометрической прогрессии, пятый член будет равен одной второй.

Пример второй. Найдем шестой член геометрической прогрессии, если первый ее член равен шестидесяти четырем и бэ третье равно шестнадцати.

Зная первый и третий члены геометрической прогрессии, можно найти ее знаменатель. Так как третий член равен произведению первого члена на квадрат знаменателя, то квадрат знаменателя равен отношению третьего члена прогрессии к первому, то есть шестнадцати к шестидесяти четырем, то есть одной четвертой.

Решив уравнение ку квадрат равно одна четвертая, найдем, что ку равно одной второй или ку равно минус одной второй.

Таким образом, существует две прогрессии, которые удовлетворяют решению задачи.

Если ку равно одной второй, то шестой член прогрессии равен двум.

Если ку равно минус одной второй, то шестой член прогрессии равен минус двум.

Значит, задача имеет два решения: два и минус два.

Пример третий. Вкладчик положил в банк шесть тысяч рублей на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на четыре процента. Какая сумма будет у него через пять лет?

Начальная сумма вклада составляла шесть тысяч рублей. Через год эта сумма возрастает на четыре процента и составит сто четыре процента от шести тысяч рублей, то есть будет равна шесть тысяч, умноженных на одну целую четыре сотых рублей. Через два года накопления сумма будет равна произведению шести тысяч и одной целой четырех сотых умноженному на одну целую четыре сотых, что равно шести тысячам, умноженным на одну целую четыре сотых квадрат и так далее….

Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией: шесть тысяч, шесть тысяч умножить на одну целую четыре сотых, шесть тысяч умножить на одну целую четыре сотых квадрат, шесть тысяч умножить на одну целую четыре сотых куб и так далее.

Сумма, которая будет накоплена у вкладчика через пять лет, будет равна шестому члену прогрессии, то есть составит шесть тысяч умноженные на одну целую четыре сотых в пятой степени.

Выполнив вычисления, найдем, что сумма составит приблизительно семь тысяч триста рублей. При таких вычислениях удобно использовать калькулятор.

В рассмотренном примере нам нужно было вычислять один и тот же процент от величины, которую нашли на предыдущем шаге. В таких случаях говорят, что мы имеем дело со сложными процентами.

Геометрическая прогрессия обладает следующим свойством: квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

Действительно, если последовательность бэ энное является геометрической прогрессией, то бэ энное равно произведению бэ с индексом эн минус один на ку, бэ с индексом эн плюс один равно бэ энное умноженное на ку.

Так как все члены геометрической прогрессии отличны от нуля, то отсюда следует, что отношение бэ энного и бэ с индексом эн минус один равно отношению бэ с индексом эн плюс один к бэ энному, то есть бэ энное в квадрате равно произведению бэ с индексом эн минус один …  на бэ с индексом эн плюс один.

Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией.

Заметим, что из равенства бэ энное в квадрате равно произведению бэ с индексом эн минус один на бэ с индексом эн плюс один, которое выражает свойство геометрической прогрессии, следует, что модуль бэ энного равно корню квадратному из произведения бэ с индексом эн минус один на бэ с индексом эн плюс один, то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов.