Усеченная пирамида

Многогранники. Усечённая пирамида.

Мы продолжаем знакомство с многогранниками. На прошлом занятии вы  познакомились с частным видом пирамиды –правильной пирамидой. Напомню, что пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник. Высотой такой пирамиды называется отрезок, проведённый из вершины в центр основания.	Если ABCDE –правильный пятиугольник, то    SABCDE-правильная пирамида. SO-высота. SO┴( ABCDE)
1.Изобразим произвольную пирамиду SA1 A2… An. 2. Проведём секущую плоскость параллельно основанию, пересекающую боковые рёбра пирамиды в точках В1 В2… Вn. 3.Секущая плоскость разбила пирамиду на два многогранника, один из которых так же является пирамидой., а другой называется усечённой пирамидой.
Итак, усечённой пирамидой называется многогранник, гранями которого являются многоугольники   А1 А2… Аn и  В1 В2… Вn(верхнее и нижнее основания), расположенных на параллельных плоскостях и четырёхугольников А1 А2 В1 В2,  А2 А3 В2 В3,…Аn-1 Аn Вn-1 Вn(боковые грани). Отрезки, соединяющие вершины оснований называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.  На чертеже изображена усечённая пирамида ABCDA1 B1 C1 D1. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из любой точки основания к плоскости другого.	ABCDA1 B1 C1 D1-усечённая пирамида. ABCD и A1 B1 C1 D1 –основания А А1В1 В-боковая грань А А1-боковое ребро ОО1-высота
Рассмотрим боковую грань А1 А2 В1 В2  усечённой пирамиды . Стороны А1 А2 и В1 В2   параллельны, так как принадлежат параллельным прямым по которым плоскость S А1 А2 пересекается с параллельными плоскостями альфа и бета. Стороны А1 В1 и А2 В2 не параллельны, так как их продолжения пересекаются в точке S. Таким образом мы доказали, что боковая грань правильной усечённой пирамиды А1 А2 В1 В2  -является трапецией. Очевидно, что все боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями.	(желательно сопоставлять объекты чертежа со словами, можно анимацией либо просто выделять)
Если усечённая пирамида получена путём сечения параллельно основанию правильной пирамиды , то усеченная пирамида будет так же правильной. Основания правильной усечённой пирамиды –это правильные многоугольники, а боковые грани- равнобедренные трапеции. Высота боковой грани называется апофемой.	А А1В1 В- равнобедренная трапеция. В1Е-апофема.
Сумма площадей боковых граней называется площадью боковой поверхности усечённой пирамиды. Эта площадь равна произведению апофемы на полусумму периметров. Доказательство следует из того, что боковые грани усечённой пирамиды- это равные равнобедренные трапеции, площади которых равны произведению полусуммы оснований на высоту- апофему. Вынося за скобку общий множитель –апофему и1/2, в скобках получим сумму оснований. А это в свою очередь есть периметр оснований- правильных многоугольников.
Применим свои знания при решении задач: Задача 1. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 4 дм и 2 дм. Точки О и О1-центры оснований пирамиды. Найти высоту и апофему пирамиды, если боковое ребро равно 2 дм. Для начала проведём краткий анализ задачи: так как усечённая пирамида правильная, то боковые рёбра-равные равнобедренные трапеции. В основании лежат правильные треугольники, значит все углы этих треугольников будут по 60 градусов. Решение: 1. Дополнительное построение: построим СМ перпендикулярно АВ, С1М1 перпендикулярно А1В1 и соединим точки М1 и М. По теореме о трёх перпендикулярах М1М перпендикулярен АВ(одновременно М1М перпендикулярна А1В1), значит М1М-апофема.	Дано:АВСА1 В1 С1-усечённая пирамида, АВ=ВС=АС=4 дм, А1В1=В1С1=А1С1=2 дм, АА1=2 дм Найти: высоту, апофему Решение: 1.Д.п. СМ┴АВ, С1М1┴ А1В1→ М1М┴ АВ и М1М┴ А1В1( по т.т.п.) М1М-апофема. 2. ОО1-высота h. Д.п. С1L┴ СМ, М1 N┴ СМ. С1L= ОО1= М1 N=h(как расстояния между параллельными прямыми). Ответ: M1М=√3 дм,  О1О=2√6 дм
Сегодня мы расширили свои знания по теме многогранник, познакомились с новой фигурой-пирамидой и её элементами, научились решать задачи применяя новые полученные знания.