Неопределённый интеграл

Вспомним правила вычисления первообразной функции.

ПРАВИЛО 1:

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

ПРАВИЛО 2:

Постоянный множитель выносится за знак первообразной.

ПРАВИЛО 3:

Если игрек, равное эф большое от икс, — первообразная для функции эф малое от икс, то первообразной для функции игрек равно эф малое от ка икс плюс эм является функция игрек, равная один, делённое на ка, умноженное на эф большое от ка икс плюс эм.

Докажем теорему.

Если y=F(x) (игрек равно эф большое от икс) — первообразная для функции y=F(x) (игрек равно эф малое от икс) на промежутке Х (икс большое), то у функции y=F(x)игрек равно эф малое от икс) бесконечно много первообразных и все они имеют вид y=F(x)+C (игрек равен эф большое от икс плюс це).

Теорема:

Если y=F(x) – первообразная для функции y=f(x) на промежутке Х, то у функции  бесконечно много первообразных и все они имеют вид y=F(x)+C

1.Пусть y=F(x) (игрек равен эф от икс большое) — первообразная для функции y=f(x) (игрек равен эф малое от икс) на промежутке Х (икс большое).

Значит, для всех х принадлежащих Х (икс большое) выполнено равенство: F(x)=f(x)(производная от эф большое равна эф малая).

Найдём производную любой функции вида y=F(x) +C (игрек равен эф большое от икс плюс це): (F(x)+C)=F(x)+C=f(x)+0=f(x)

Известно, что производная суммы равна сумме производных, поэтому мы можем отдельно найти производную от эф большое и це.

Производная от первообразной эф большое – есть сама функция эф малое, производная от постоянной це равна нулю, тогда мы получим, что производная любой функции вида y=F(x)+C есть сама функция эф малая.

Значит, функция игрек равен эф большое от икс плюс це является первообразной для функции игрек равен эф малое от икс.

Таким образом, мы доказали, что если у функции игрек равен эф малое от икс существует первообразная игрек равен эф от икс большое, то у функции игрек равен эф малое от икс бесконечное множество первообразных вида игрек равен эф большое от икс плюс це.

2.Теперь докажем, что таким видом функции исчерпывается всё множество первообразных.

Пусть игрек равен эф один от икс и игрек равен эф два от икс — две первообразные для функции игрек равен эф малое от икс на промежутке Х (икс большое).

Значит, для всех икс малое из промежутка икс большое выполнены соотношения:

производные функций эф большое от икс и эф большое один от икс равны самой функции эф малое.

Рассмотрим функцию игрек равен эф большое один от икс минус эф большое от икс и найдём её производную:

(F1(x)-F(x))=F1(x)-F(x)=f(x)-f(x)=0

Применяя правило нахождения суммы производных, разбиваем функцию на два слагаемых и находим производную от эф один большое от икс и от эф большое от икс.

Так как

производные функций эф большое от икс и эф большое один от икс равны самой функции эф малое, то разность этих производных равна нулю.

Известно, что если производная функции на промежутке Х (икс большое) тождественно равна нулю, то функция постоянна на данном промежутке Х (икс большое).

Мы получили, что разность функций эф большое один от икс и эф большое от икс постоянна, то есть эф большое один от икс равно эф большое от икс плюс це.

Теорема доказана.

1. Пусть -первообразная для функции y=f(x) на промежутке Х.

Значит, для всех х принадлежащих Х выполнено равенство: f(x)+F(x).

Найдём производную любой функции вида y=F(x)+C:

(F(x)+C)=F(x)+C=f(x)+0=f(x)

Итак, (F(x)+C)=f(x)⇒

y=F(x)+C -первообразная для

y=f(x).

Доказали, что если у функции y=f(x).

 есть первообразная y=F(x).

, то у функции y=f(x). бесконечно много первообразных вида y=F(x)+C

2. Пусть y=F1(x) и y=F2(x) y=F1(x) и y=F2(x) -две первообразные для функции y=f(x) на  промежутке Х.

Тогда для любого X верно:

F(x)=f(x), F1(x)=f(x)

Рассмотрим y=F1(x)-F(x) и найдём производную:

(F1(x)-F(x))=F1(x)-F(x)=f(x)-f(x)=0

Если производная функции на промежутке Х тождественно равна нулю, то функция постоянна на данном промежутке Х--F1(x)-F(x)=C--F1(x)=F(x)+C

Составим таблицу неопределённых интегралов, для этого воспользуемся табличными значениями первообразной.

С(це) — константа, т.е. постоянная.

1.Неопределённый интеграл от дэ икс равен икс плюс це.

2. Неопределённый интеграл от икс в степени эн дэ икс равен икс в степени эн плюс один, делённое на эн плюс один, и плюс це, где эн принадлежит множеству натуральных чисел.

3. Неопределённый интеграл от дэ икс, делённое на икс в квадрате, равен минус один, делённое на икс плюс це.

4. Неопределённый интеграл от дэ икс, делённое на корень квадратный из икс, равен два корень из икс плюс це.

5. Неопределённый интеграл от синус икс дэ икс равен минус косинус икс плюс це.

6. Неопределённый интеграл от косинус икс дэ икс равен синус икс плюс це.

7. Неопределённый интеграл от  дэ икс, делённое на синус в квадрате икс, равен минус котангенс  икс плюс це.

8. Неопределённый интеграл от  дэ икс, делённое на косинус в квадрате икс, равен тангенс  икс плюс це.

Вычислим неопределённый интеграл функции, применяя полученные знания.

ЗАДАНИЕ 1:

Найти неопределённый интеграл от три, делённое на корень квадратный из икс, минус пять, делённое на икс в квадрате, дэ икс.

Решение:

Разобьем интеграл разности на разность двух интегралов, затем вынесем постоянные множители три и пять за знак интеграла.

Мы получили табличные интегралы:

Неопределённый интеграл от дэ икс делённое на корень квадратный из икс равен два корень из икс плюс це.

Неопределённый интеграл от дэ икс делённое на икс в квадрате равен минус один делённое на икс плюс це.

Перемножая три и два корня из икс, минус пять и минус один делённое на икс, в результате получим: шесть корней из икс плюс пять делённое на икс плюс це.

Задание 2:

Найти неопределённый интеграл

от дэ икс, деленное на косинус в квадрате три икс минус пи на три.

Решение:

Воспользуемся третьим правилом интегрирования Правило 3:

Неопределённый интеграл от сложной функции равен первообразной этой функции, делённой на постоянный множитель при икс и плюс це., а так же табличным интегралом: неопределённый интеграл от  дэ икс, делённое на косинус в квадрате икс, равен тангенс икс плюс це.

Получим:

Одна третья тангенс три икс минус пи на три плюс цэ.