Движения. Осевая симметрия

Мы продолжаем знакомство с движением.

На прошлом занятии вы познакомились с одним из видов движения — центральной симметрией.

Вспомним, что центральная симметрия — это такое отображение пространства на себя, при котором любая точка К переходит в симметричную ей точку К₁, относительно центра симметрии точки В.

Центральная симметрия- один из примеров движения.

К К₁(В–центр симметрии)

Отображение пространства на себя, при котором любая точка К переходит в симметричную ей точку К₁ относительно оси а называется осевой симметрией с осью а.

Осевая симметрия с осью а- отображение пространства на себя, при котором любая точка К переходит в симметричную ей точку К₁ относительно оси а.

К→К₁, а– ось симметрии

Очевидно, что длина отрезка АВ равна длине отрезка A₁B₁, то есть расстояние между точками сохранено.

Таким образом, мы доказали, что осевая симметрия является движением

Рассмотрим решение задач, применяя полученные знания.

Задача 1.

Доказать, что при осевой симметрии прямая, образующая с осью симметрии угол , отображается на прямую, так же образующую с осью симметрии угол 

Решение:

1. Так как ось симметрии а и прямая l не параллельны, то а пересекается с l в некоторой точке А.

Выберем любую точку N на прямой l.

Построим отрезок NE перпендикулярно к оси симметрии а.

Затем продолжим отрезок NE за точку Е на расстояние EF=NE.

Соединим точки F и А.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники AEF и AEN.

EF=NE (по построению), АЕ — общий катет.

Таким образом, прямоугольные треугольники AEF и AEN равны.

Из равенства данных треугольников следует равенство углов EAN и EAF

Итак, мы доказали, что при осевой симметрии прямая, образующая с осью симметрии угол  ф, отображается на прямую, также образующую с осью симметрии угол  ф

При осевой симметрии прямая, образующая с осью симметрии угол  Ф, отображается на прямую, так же образующую с осью симметрии угол  Ф

Задача 2.

Известно, ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, длина ребра АВ равна а. Точка D отображается в точку D₂ при осевой симметрии относительно прямой В₁ D₁. Найти ВD₂.

Таким образом, длина отрезка ВD₂ равна а√6.