Неравенства с параметрами

Тема «Неравенства с параметрами»

На этом уроке мы изучим алгоритм решения неравенств с параметрами и научимся применять его при решении такого типа заданий.	Текст Тема урока «Неравенства с параметром»
Определение первое. Решить неравенство с параметром — значит для каждого значения параметра найти множество всех решений данного неравенства или доказать, что решений нет. Рассмотрим линейные неравенства.	Текст. Определение 1. Решить неравенство с параметром- значит для каждого значения параметра найти множество всех решений данного неравенства или доказать, что решений нет.
Определение второе. Неравенства вида а икс плюс бэ больше нуля, больше либо равно нулю, меньше нуля, меньше либо равно нулю, где a и бэ — действительные числа, икс — переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами).	Текст. Рассмотрим линейные неравенства. Определение 2. Неравенства вида ax + b > 0,   ax + b ≥ 0,   ax + b < 0,    ax + b ≤ 0, где a, b Î R,   x - переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами).
Алгоритм решения линейного неравенства с параметром, например, неравенства а икс плюс бэ больше нуля, где a и бэ — действительные числа, икс — переменная. Рассмотрим следующие случаи: Первый случай:  a больше нуля, тогда икс больше минус бэ деленное на а.  Следовательно, множество решений неравенства есть открытый числовой луч от минус бэ деленное на а до плюс бесконечности. Второй случай: a меньше нуля, тогда икс меньше минус бэ деленное на а и, следовательно, множество решений неравенства есть открытый числовой луч от минус бесконечности до минус бэ деленное на а. Третий случай: a равно нулю, тогда неравенство примет вид: ноль умноженное на икс плюс бэ больше нуля и для бэ больше нуля любое действительное число есть решение неравенства, а при бэ меньшем либо равным нулю неравенство не имеет решений. Остальные неравенства решаются аналогично.	Текст. Алгоритм решения линейного неравенства с параметром, например, ax + b > 0,  где a, b ÎR,   x – переменная. Рассмотрим следующие случаи: 1) a > 0, тогда ax + b > 0 Û ax > -b Û    x > -b/a  и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0   (a > 0) есть  (-b/a ;+∞); 2)a < 0, тогда ax + b > 0 Û  ax > -bÛ    x < -b/a и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0   (a < 0) есть (-∞;-b/a); 3) a = 0, тогда неравенство примет вид 0·x + b > 0 и для b > 0 любое действительное число есть решение неравенства, а при b ≤ 0 неравенство не имеет решений.
Рассмотрим примеры. Задание 1 Решить неравенство а икс меньше либо равно единице. Решение В зависимости от знака a рассмотрим три случая. Первый случай: если a больше нуля, то икс меньше либо равно один деленное на а; Второй случай: если a меньше нуля, то икс больше либо равно один деленное на а; Третий случай: если a равно нулю, то неравенство примет вид: ноль умноженное на икс меньше, либо равно единице и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства. Таким образом, если а больше нуля, то икс принадлежит лучу от минус бесконечности до единицы, деленной на а. Если a меньше нуля, то икс принадлежит лучу от единицы, деленной на а, до плюс бесконечности, и если a равно нулю, то x принадлежит множеству действительных чисел. Ответ: если а больше нуля, то икс принадлежит лучу от минус бесконечности до единицы, деленной на а; если a меньше нуля, то икс принадлежит лучу от единицы, деленной на а, до плюс бесконечности, и если a равно нулю, то x икс принадлежит множеству действительных чисел.	Текст. Рассмотрим примеры. Пример 1. Решить неравенство ах≤ 1; Решение. В зависимости от знака a рассмотрим три случая: 1)если a > 0, то x ≤ 1/a; 2)если a < 0, то x ≥ 1/a; 3)если a = 0, то неравенство примет вид 0·x ≤ 1 и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства. Таким образом, если a > 0, то x Î (-∞;1/a], если a < 0, то x Î [1/a;+∞), и если a = 0, то x Î R. Ответ: если a > 0, то x Î (-∞;1/a], если a < 0, то x Î [1/a;+∞), и если a = 0, то x Î R.
Задание 2 Решить неравенство модуль икс минус два больше минус квадрата разности а и единицы. Решение Заметим, что модуль икс минус два больше либо равно нулю для любого действительного икс и минус квадрат разности а и единицы меньше либо равно нулю для любого значения параметра a. Следовательно, если a равно единице, то любое икс — действительное число, отличное от двух, является решением неравенства, а если a не равно одному, то любое действительное число является решением неравенства. Ответ: если a равно одному, то икс принадлежит объединению двух открытых числовых лучей от минус бесконечности до двух и от двух до плюс бесконечности, а если a принадлежит объединению двух открытых числовых лучей от минус бесконечности до единицы и от одного до плюс бесконечности, то икс принадлежит множеству действительных чисел.	Текст. Пример2. Решить неравенство |x - 2| > -(a - 1)2. Решение. Заметим, что |x - 2| ≥ 0 для любого действительного x и -(a-1)2 ≤ 0 для любого значения параметра a. Следовательно, если a = 1, то любое x действительное число, отличное от 2, является решением неравенства, а если a ≠ 1, то любое действительное число является решением неравенства.  Ответ: если a = 1, то x Î (-∞;2) È(2;+∞), а если a Î(-∞;1) È(1;+∞),то x Î R.
Задание 3 Решить неравенство три умноженное на разность четырех а и икса меньше двух а икс плюс три. Решение После элементарных преобразований данного неравенства, получим неравенство: икс умноженное на сумму двух а и трех больше три умноженное на разность четырех а и одного. Далее рассмотрим три случая: Первый случай: если два а плюс три больше нуля, то есть a больше минус трех вторых, то икс больше дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три. Второй случай: если два а плюс три меньше нуля, то есть a меньше минус трех вторых, то икс меньше дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и одного, а знаменатель два а плюс три. Третий случай: если два а плюс три равно нулю, то есть a равно минус три вторых, любое действительное число является решением исходного неравенства. Следовательно, если а принадлежит окрытому числовому лучу от минус трех вторых до плюс бесконечности, то икс принадлежит открытому числовому лучу от дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и одного, а знаменатель — два а плюс три, до плюс бесконечности. Если а принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до минус трех вторых, то икс принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три; если a равно минус трем вторых, то икс принадлежит множеству действительных чисел. Ответ: если а принадлежит окрытому числовому лучу от минус трех вторых до плюс бесконечности, то икс принадлежит открытому числовому лучу от дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три до плюс бесконечности; если а принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до минус трех вторых, то икс принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель два а плюс три; если a равно минус трем вторых, то икс принадлежит множеству действительных чисел.	Текст. Пример 3. Решить неравенство 3(4a - x) < 2ax + 3. Решение. После элементарных преобразований получим 3(4a - x) < 2ax + 3 или  12a - 3x < 2ax + 3 или 12a - 3 < 2ax + 3x или x(2a + 3) > 3(4a - 1).
Задание 4 Для всех допустимых значений параметра а  решить неравенство квадратный корень из икс минус а плюс квадратный корень из двух а минус икс плюс квадратный корень из а минус один плюс квадратный корень из трех минус а больше нуля. Решение Найдем область определения параметра а. Она определяется системой неравенств, решив которую находим, что а принадлежит отрезку от одного до трех. Данное неравенство равносильно системе неравенств, решая которую находим, что икс принадлежит отрезку от а до двух а. Если а принадлежит отрезку от единицы до трех, то решением исходного неравенства является отрезок от а до двух а. Ответ: если а принадлежит отрезку от одного до трех, то икс принадлежит отрезку  от а до двух а.	Текст. Пример 4. Для всех допустимых значений параметра  а  решить неравенство квадратный корень из икс минус а плюс квадратный корень из двух а минус икс плюс квадратный корень из а минус один плюс квадратный корень из трех минус а больше нуля. . Решение. Найдем область определения параметра а. Она определяется системой неравенств:     а-1≥0,      3-а≥0;    а≥1,    а≤3. аÎ[1; 3] Данное неравенство равносильно системе неравенств    х- а≥0,    2 а-х≥0;     х≥ а,     х≤ 2 а. хÎ[ а ; 2 а ] Если аÎ[1; 3], то решения исходного неравенства является отрезок  [ а ; 2 а ]. Ответ: если аÎ[1; 3], то, хÎ[ а ; 2 а ].
Задание 5 Найти все а, при которых неравенство квадратный корень из икс в квадрате минус икс минус два плюс квадратный корень из дроби, числитель которой — два минус икс, а знаменатель — икс плюс четыре больше либо равно а икс плюс два минус квадратный корень из дроби, числитель которой — икс плюс один, а знаменатель — пять минус икс не имеет решения. Решение Первое. Вычислим область определения данного неравенства. Она определяется системой неравенств, решением которой являются два числа: икс равен минус единице и икс равен двум. Второе. Найдем все значения а, при которых данное неравенство имеет решения. Для этого найдем все а, при которых икс равен минус единице и икс равен двум — это решение данного неравенства. Рассмотрим и решим совокупность двух систем. Решением является объединение двух числовых лучей  от минус бесконечности до минус одной второй, и от единицы до плюс бесконечности. Значит, данное неравенство имеет решение, если а принадлежит объединению двух числовых лучей от минус бесконечности до минус одной второй, и от единицы до плюс бесконечности. Третье. Следовательно, данное неравенство не имеет решения, если а принадлежит интервалу от минус одной второй до единицы. Ответ: неравенство не имеет решения, если а принадлежит  интервалу от минус одной второй до единицы.	Текст. Пример 6.