Теорема о трёх перпендикулярах

Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о трёх перпендикулярах.

На прошлых занятиях вы уже познакомились с такими понятиями как: перпендикуляр к плоскости, наклонная, проекция, расстояние от точки до плоскости.	Желательно, что бы картинка была анимированной, т.е. параллельно словам «перпендикуляр к плоскости» проводился перпендикуляр АВ , так же к словам «наклонная» - АС, «проекция» - СВ и «расстояние от точки до плоскости» - тоже АВ.
А теперь попробуем провести прямую через основание наклонной перпендикулярно её проекции. Что можно сказать о данном перпендикуляре? Если в плоскости провести прямую через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на данную плоскость, то эта прямая будет перпендикулярна и к самой наклонной. Докажем, что прямая ДС перпендикулярна прямой АС: 1.Известно, что прямая АВ перпендикулярна плоскости α, АС-наклонная к плоскости α, ВС-проекция наклонной АС,  прямая СД принадлежит плоскости альфа, а так же прямая СД перпендикулярна прямой ВС по построению. 2.Рассмотрим плоскость АСВ: прямая ДС перпендикулярна прямой ВС по условию, а так как прямая АВ перпендикулярна плоскости альфа, значит прямая АВ будет перпендикулярна и прямой ДС, лежащей в этой плоскости (по теореме о перпендилурности прямой и плоскости). 3.Прямая СД перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АВ и ВС, принадлежащим плоскости АВС, значит прямая будет перпендикулярна и самой плоскости АВС-по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. 4.Из признака  перпендикулярности прямой и плоскости  следует, что прямая ДС перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АВС, значит прямая ДС перпендикулярна прямой АС. Таким мы образом мы доказали, что прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к  ее проекции на эту плоскость, перпендикулярная к самой наклонной. Доказанное утверждение называется теоремой о трёх перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АВ, ДС и ВС.	Желательно выделять прямые и плоскости, о которых говорится в доказательстве.
Существует так же и обратная теорема: Если провести прямую в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, то данная прямая будет перпендикулярна и к ее проекции. Докажите эту теорему самостоятельно.	Докажите эту теорему самостоятельно.
Рассмотрим применение теоремы о трех перпендикулярах при решении задач. Задача1. Отрезок АД перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ =АС=5 см, ВС=6 см. АД=12 см.Найти расстояние от концов отрезка АД до прямой ВС. Решение: 1.Дополнительное построение: проведем АЕ перпендикулярно ВС. Отрезок АЕ и будет расстоянием от точки А до прямой ВС. 2. Так как треугольник АВС равнобедренный, то АЕ является высотой и медианой, значит ВЕ=ЕС=3 см 3.Так как треугольник АЕС прямоугольный, то АЕ можем найти по теореме Пифагора: АЕ=√AC2-EC2   АЕ=√52-32, АЕ=4 см. 4.Отрезок ВС перпендикулярен АЕ, вместе с тем отрезок ВС перпендикулярен DА(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), тогда по теореме о трех перпендикулярах  ВС перпендикулярен DЕ. 5.Из прямоугольного треугольника ДАЕ найдем ДЕ по теореме Пифагора: ДЕ=√АЕ2+АД2, DЕ=√42+122=√160=4√10 см.	Дано: ΔАВС-равнобедренный АВ=АС=5 см, ВС=6 см, АD=12 см. Найти: АЕ, DЕ. Решение: 1.Д.п.АЕ┴ВС 2.ΔАВС-равнобедренный→АЕ-высота и медиана→ ВЕ=ЕС=3 см 3. АЕ=√AC2-EC2  АЕ=√52-32, АЕ=4 см. 4.ВС┴АЕ, ВС┴DА→ВС┴ DЕ(по т.т.п.) 5. DЕ=√АЕ2+АD2, DЕ=√42+122=√160=4√10 см. Ответ: АЕ=4 см. DE=4√10 см.
Задача 2 Прямая ВД перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно,  что ВД=9см, АС=10 см, ВС=ВА=13 см.Найти расстояние а)от точки Д до прямой АС б)площадь треугольника АСД. Решение: 1.Проведём ВЕ перпендикулярно АС. 2.Так как Треугольник АВС равнобедренный, то ВЕ –высота и медиана, значит СЕ=ЕА=5 см. 3.ВД перпендикулярна АС, ВЕ перпендикулярна АС, то по теореме о трёх перпендикулярах ДЕ перпендикулярна АС. 4.Расстояние от точки Д до прямой АС это отрезок ДЕ. Так как треугольник ВЕД прямоугольный, то по теореме Пифагора ДЕ=√ВЕ2+ВД2. В свою очередь ВЕ можно найти из прямоугольного треугольника СВЕ: ВЕ=√ВС2-ЕС2=√132-52=√169-25=12 см. Тогда ДЕ=√122+92=√144+81=15 см 5.В треугольнике АСД: АС-основание, ДЕ-высота, тогда по формуле нахождения площади треугольника(половина произведения основания и высоты) найдем площадь треугольника АДС: SACD=1/2 АС*ДЕ=1/2*10*15=75см2	Дано: ВD┴(АВС), ВD=9см АС=10 см, ВС=ВА=13 см Найти: DЕ, SACD Решение: 1.Д.п. ВЕ┴АС 2. ВЕ –высота и медиана , СЕ=ЕА=5 см. 3. ВD┴АС, ВЕ┴АС→DЕ┴АС(по т.т.п.) 4. ΔВЕD прямоугольный, DЕ=√ВЕ2+ВD2=√122+92=√144+81=15 см ВЕ=√ВС2-ЕС2=√132-52=√169-25=12 см. 5. SACD=1/2АС*DЕ= 1/2 *10*15=75см2 Ответ:DE=15см, SACD=75см2
Сегодня мы расширили свои знания по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей», познакомились с теоремой о трёх  перпендикулярах, доказали ее, научились применять данную теорему при решении задач.