Аксиомы стереометрии

Аксиомы стереометрии Что такое аксиома?  Аксиома – это утверждение не требующее доказательства. Аксиомы стереометрии  – утверждения о свойствах геометрических тел, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются все теоремы и вообще строится вся геометрия.
Аксиома А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Аксиома А1 состоит из двух частей. Первая часть утверждает, что через три точки проходит плоскость, т.е. существует хотя бы одна плоскость. А вторая часть аксиомы говорит, что такая плоскость только одна. На экране изображены три точки  A, B и C. Если  C не принадлежит прямой AB,  то существует плоскость α,  проходящая через эти три точки, причем, только одна. Символ   читается как существует. По этой аксиоме, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость. Поэтому  плоскости иногда обозначают тремя большими буквами, используя  любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой. У нас на экране плоскость обозначена как α. Эту же плоскость можно обозначить  как ABC	Аксиома 1 (существование плоскости) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую. На экране вы видите две точки A и B. Если точки A и B принадлежат плоскости  , то прямая AB лежит в плоскости α,  плоскость проходит через  прямую AB. Эта аксиома устанавливает взаимосвязь между прямой и плоскостью, то есть тот факт, что плоскость действительно плоская и прямая ее не «протыкает», а целиком содержится в ней. Из аксиомы A2 следует,  что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.	Аксиома А2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Аксиома А3. Если две плоскости имеют общую точку,  то  они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.. На экране мы видим, плоскости   имеют общую точку M. Если точка M – общая для плоскостей  , то они  пересекаются по прямой a, проходящей через  точку M. Эта аксиома очень важная. Она утверждает, что две плоскости не могут пересекаться по одной единственной точке.	Аксиома A3 Если две плоскости имеют общую точку,  то  они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через  эту точку.
Справедливость фактов планиметрии Мы с вами познакомились с тремя аксиомами стереометрии. Возникает вопрос: «Можем ли мы пользоваться теми фактами, которые справедливы на плоскости: теорема Пифагора, формулы площади треугольников, параллелограмма?  Или все эти формулы, теоремы для нас уже не имеют значения?»  Оказывается можем. В планиметрии мы имели дело с одной плоскостью, на которой располагались  все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии много плоскостей. И в каждой из плоскостей, справедливы все факты планиметрии. В любой из плоскостей выполняется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, верны формулы длины окружности, верны формулы для площади. Все что мы изучали,  мы теперь можем применять смело в каждой из рассматриваемых плоскостей.	Аксиомы стереометрии не противоречат аксиомам планиметрии. В стереометрии принимаются все факты планиметрии для каждой плоскости.
Переходим к решению задач Задача 1. По рисунку назовите: А) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC; Б) точки пересечения прямой DK с  плоскостью ABC, прямой CE с плоскостью ADB. Решение. а) Так как точки P и E принадлежат плоскости ADB, то прямая PE лежит в плоскости ADB (аксиома А2). Аналогично MK  лежит в плоскости BCD. Так как точки B и D лежат одновременно в двух плоскостях ABD и BCD, то  прямая BD лежит в двух плоскостях ABD и BCD. Аналогично  AB лежит в двух плоскостях ABD и ABC. Точки  E и C  лежат одновременно в двух плоскостях ABC и CDE, значит прямая  CE лежит в двух плоскостях ABC и CD. б) Заметим, что точка C принадлежит прямой  DK и плоскости ABC, следовательно,  прямая DK пересекается с плоскостью ABD  в точке E. Аналогично, CE пересекается  с плоскостью ABD в точке E.	Задача 1.  По рисунку назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC; б) точки пересечения прямой DK с  плоскостью ABC, прямой CE с плоскостью ADB.
Задача 2. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-то три  из них лежать  на одной прямой? Дано: A, B, C, D – не лежат в одной плоскости Найти: Могут ли  3 из них лежать на одной прямой? Решение. Пусть  точки  A, B, C лежат на прямой m, а точка D не лежит на этой прямой. Тогда по аксиоме А1 существует плоскость  , проходящая через  точки A, C и D. Две точки A и С прямой m  принадлежат в плоскости  ,  значит    и точка  B этой прямой принадлежит  этой  плоскости. Получается, что в одной  плоскости лежат все четыре точки, что  противоречит условию задачи. Значит предположение неверно, никакие три точки не лежат на одной прямой. Ответ: Точки A, B, C и D не могут лежать  на одной прямой.	Задача 2. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-то три  из них лежать  на одной прямой? Дано: A, B, C, D – не лежат в одной плоскости Найти: Могут ли  3 из них лежать на одной прямой? Получили противоречие, по условию задачи точки не лежат в одной плоскости. Предположение неверно, никакие три точки не лежат  на одной прямой. Ответ: Нет
Задача 3. Докажите, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей? Дано: Точки A, B, C принадлежат прямой m Доказать: Существует плоскость, проходящая через  A, B, C Найти :Количество плоскостей Решение. Возьмем произвольную точку D, не лежащую на прямой m. Через три точки A, C и  D можно провести плоскость α (аксиома A1). Так как две точки A и C прямой m  принадлежат плоскости  α,  то и точка B  прямой  m   принадлежит этой плоскости. Все три точки принадлежат плоскости. Значит плоскость α – искомая плоскость. Так как мы взяли произвольную точку D, то таких плоскостей бесконечное множество. Ответ: Через три данные точки, лежащие на одной прямой, может проходить бесконечное множество плоскостей.	Задача 3. Докажите, что через три данные точки , лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей? Дано: Доказать:    Найти: Количество плоскостей Решение. Пусть  .   (аксиома A1).  (аксиома A2). Плоскость α – искомая плоскость. Т. к D – произвольная точка,  то таких плоскостей бесконечное множество. Ответ: бесконечное множество.