Сфера. Площадь сферы

Сфера. Площадь сферы

Продолжаем изучение сферы. На прошлых занятиях вы познакомились с определением касательной плоскости к сфере, её свойством, а так же с признаком касательной плоскости к сфере. Итак, касательной плоскостью называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, данную общую точку называют точкой касания. Вспомним, что радиус сферы перпендикулярен касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы.	Касательной плоскостью называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, данную общую точку называют точкой касания. α-касательная плоскость к сфере. А-точка касания. ОА=R┴α
Сферу нельзя развернуть на плоскость, в отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса, поэтому здесь непригоден способ вычисления и  определения площади поверхности с помощью развёртки. Воспользуемся понятием описанного многогранника для определения площади сферы. Итак, многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней, другими словами плоскость каждой грани является касательной к сфере. В этом случае сфера — вписанная.	ABCDA1B1C1D1-описанный куб (плоскость каждой грани является касательной к сфере). Сфера- вписанная в куб.
Пусть описанный около сферы многогранник имеет  k граней. Если неограниченно увеличивать число k граней так, чтобы наибольший размер каждой грани стремился к нулю, то за площадь сферы можно принять предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. При дальнейшем изучении темы «Площадь сферы», мы докажем существование этого предела, а так же выведем следующую формулу для нахождения площади сферы радиуса R: S=4П R2	(желательна анимационная заставка тетраэдра, куба, додекаэдра описанных около сферы, и многогранника, с увеличивающимся числом граней) Площадь сферы радиуса R: S=4ПR2
Применим полученные знания при решении задач. Задача 1. Вычислить радиус круга, площадь которого равна площади сферы с радиусом 5 м. Решение: 1. Площадь сферы вычисляется по формуле: S=4ПR2, радиус сферы равен 5 м. Таким образом, площадь сферы равна: S=4П*52=4П*25=100П (м2) 2.Площадь круга вычисляется по формуле: S=Пr 2, где r-радиус круга. Из условия известно, что площадь сферы равна площади круга, то есть Пr 2=100  r 2=100, следовательно r =10 (м). Таким образом, радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м, равен 10 м.	Дано: сфера, круг, R-радиус сферы, R=5 м, Sсф= Sкр Найти: r-радиус круга. Решение: 1.Площадь сферы: S=4ПR2, R=5 м   Sсф=4П*52=4*25*П=100П (м2) 2.Площадь круга: S=Пr 2, r-радиус круга. Sсф= Sкр  Пr 2=100П r 2=100,   r =10 (м). Ответ: r =10 м.
Задача 2. Сечение шара площадью 16П см2 находится на расстоянии 3 см от центра шара. Найти площадь поверхности шара (сферы). Решение: 1.Сечение сферы является кругом, площадь которого вычисляется по формуле: S=Пr 2=16П, где r=АВ — радиус круга. Найдём радиус сечения r: r=АВ=4 (см) 2.Рассмотрим треугольник ОАВ: ОА=d — расстояние (перпендикуляр) от центра шара до сечения. Значит, угол А равен 900. Таким образом, из прямоугольного треугольника ОАВ по теореме Пифагора находим отрезок ОВ, который является радиусом сферы: ОВ= R=√АВ2+ОА2=√42+32=√25=5 (см) 3.Площадь сферы вычислим по формуле: S=4ПR2, где R — радиус сферы. Sсф=4П*52=4П*25=100П (см2) Ответ: Sсф=100Псм2	Дано:  шар с центром в т.О, Sсеч=16  см2, расстояние от т.О до сечение 3см. Найти: Sсф Решение: 1. S=Пr 2=16П, где r=АВ- радиус круга r=АВ=4 (см) 2. ОА=d-расстояние(перпендикуляр) от центра шара до сечения А=900  Δ ОАВ- прямоугольный. По теореме Пифагора: ОВ= R =5 (см) 3. S=4ПR2, R-радиус сферы. Sсф=4П*52=4П*25=100П (см2) Ответ: Sсф=100Псм2