Равномерное движение точки по окружности

Равномерное движение точки по окружности

При движении с переменным ускорением, при равномерном движении по окружности вектор скорости меняется только по направлению, но не изменяется по модулю.
И в природе, и в технике мы постоянно встречаемся с телами, которые движутся по окружности. С некоторым приближением можно сказать, что наша планета вращается вокруг Солнца по окружности, а Луна, в свою очередь, вращается таким же образом вокруг нашей планеты, любая точка на поверхности нашей планеты вращается вокруг земной оси. Именно поэтому стоит уделить особое внимание изучению такого вида движения.

Вычислим модуль и направление вектора ускорения в случае равномерного движения точки по окружности радиусом R. Предположим, что точка в момент времени t занимает положение М, а через интервал времени дельта t - положение M1.
Скорость тела, которая направленна по касательной к окружности, называют линейной. При равномерном движении  скорость в точке М равна скорости в точке М1. Чтобы найти изменение вектора скорости  за время дельта t, надо из вектора скорости в точке М1  вычесть вектор скорости в точке М. Разделив вектор  изменения скорости на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло, получим среднее ускорение точки за этот промежуток времени.

При стремлении интервала дельта t к нулю вектор среднего ускорения стремится в пределе к определенному вектору, называемому вектором мгновенного ускорения
Сначала найдем модуль мгновенного ускорения. Для этого проведем вектор перемещения  и рассмотрим треугольники OMM1 и  M1AB. Эти треугольники подобны на равнобедренные с равными углами при вершинах. Следовательно, отношение модуля изменения вектора скорости к скорости равно отношению модуля вектора перемещения к радиусу окружности.
   Разделив левую и правую части этого равенства на промежуток времени дельта t, получим: отношение модуля изменения вектора скорости к скорости умноженному на дельта t равно отношению модуля вектора перемещения к радиусу окружности умноженному на дельта t. Или отношение изменения вектора скорости к промежутку времени, в течение которого оно произошло, равно отношению вектора начальной скорости умноженному на отношение вектора перемещения к промежутку времени.
Но отношение изменения скорости к интервалу времени, в течение которого оно произошло, равно среднему ускорению. А отношение вектора перемещения к промежутку времени равно средней скорости на этом промежутке. Подставляя эти равенства в полученное выражение, получаем, что    среднее ускорение на участке движения равно отношению квадрата средней скорости к радиусу окружности.
В пределе, т. е. при стремлении промежутка времени дельта t  к нулю, модуль вектора отношения изменения скорости к интервалу времени будет не чем иным, как модулем ускорения  точки в момент времени t, а модуль вектора  отношения перемещения к интервалу времени будет представлять собой модуль вектора мгновенной скорости. Тогда мы получаем мгновенное ускорение при равномерном движении по окружности, которое равно отношению квадрата модуля вектора скорости к радиусу окружности.
Так как модуль вектора скорости и радиус окружности, вдоль которой движется точка, постоянны, то модуль вектора ускорения при равномерном движении точки по окружности остается все время неизменным.
 Найдем теперь направление вектора ускорения. Вектор ускорения направлен так, как направлен вектор изменения скорости при стремлении промежутка времени  к нулю. Из рисунка видно, что при стремлении интервала времени к нулю, точка M1 приближается к точке M и угол фи стремится к нулю. Следовательно, угол BM1A стремится к 90°. Таким образом, угол между вектором изменения скорости и радиусом окружности стремится к нулю. Следовательно, в пределе, когда точка М1 бесконечно близко подходит к точке М, вектор изменения скорости, а, значит, и  вектор мгновенного ускорения направлены к центру окружности. Поэтому ускорение точки при ее равномерном движении по окружности называют центростремительным.
   Так как в процессе движения точки по окружности ускорение все время направлено по радиусу к центру, то оно непрерывно изменяется по направлению. Следовательно, равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением и переменной скоростью. Модули скорости и ускорения при этом остаются постоянными. 
Для более полного описания движения материальной точки по окружности введем наряду с линейной скоростью, понятие угловая скорость. Угловая скорость – это величина, которая равна отношению угла поворота радиуса-вектора точки, движущейся по окружности, к промежутку времени, в течение которого происходит этот поворот.

Из этой формулы определим единицу угловой скорости. В СИ принято за единицу угловой скорости принимать скорость такого равномерного движения точки по окружности, чтобы радиус-вектор этой точки в течение 1 с поворачивался на угол 1 радиан. Единица угловой скорости называется радиан в секунду.
Если тело совершает равномерное движение по окружности, то угловая скорость будет постоянной величиной. Промежуток времени, в течение которого тело или материальная точка двигались по окружности и совершили один полный оборот, называют периодом обращения. Период обращения выражают в секундах. Для того чтобы вычислить период обращения, нужно время движения точки по окружности разделить на количество полных оборотов, совершенных телом за этот период.
Величину, являющуюся обратной периоду обращения и равную числу оборотов, которые совершает тело за единичное время, называют частотой обращения. 
В СИ за единицу частоты обращения принята такая частота, при которой за одну секунду точка совершает один полный оборот. Эта единица частоты обращения называется герц. 
Если интервал времени равен периоду обращения, то угол поворота подвижного радиуса точки равен 2 пи. Тогда из (1.28) и (1.29) следует, что угловая скорость движения равна  два пи разделить на период обращения или два пи умножить на частоту обращения.
Для точки, равномерно движущейся по окружности радиуса R, линейная скорость равна отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение было совершено. Угол поворота  выражают в радианах, поэтому угол поворота равен отношению перемещения к радиусу окружности. 
Подставив значение перемещения в формулу линейной скорости, получаем, что линейная скорость равна отношению угла поворота ко времени поворота, умноженному на радиус окружности.
Но отношение угла поворота ко времени поворота – это угловая скорость. Поэтому линейная скорость равна произведению угловой скорости на радиус окружности.
Эта формула выражает связь между линейной и угловой скоростями равномерного движения по окружности.    
Используя формулу связи линейной и угловой скоростей, можно сказать, что центростремительное ускорение равно произведению квадрата угловой скорости и радиуса окружности.
Из формулы угловой скорости следует, что угол поворота равен произведению угловой скорости на время движения.
Учитывая тот факт, что при равномерном движении тела по окружности его угловая скорость не изменяется, то из этой формулы для любого момента времени можно найти угол поворота радиуса-вектора, показывающего положение точки на окружности. Из этого можно сделать вывод, что в любой момент времени можно найти положение материальной точки, равномерно движущейся по окружности.

Это означает, что данная формула выражает собой кинематический закон такого движения (является уравнением этого движения).