Борис Годунов был избран русским царём, потому что:

Во-первых, Борис Годунов имел право старшинства

Во-вторых, Борис Годунов был избран на Земском Соборе

В-третьих, на этом настоял польский король

В это время между высокопоставленными боярами шла постоянная борьба. В 1598 году царь Федор Иванович скончался, не успев оставить приказа о наследнике. По факту, устранив соперников, и во время правления Федора Иоанновича правителем являлся Борис Годунов.Поскольку династия Рюриковичей прервалась, Земский Собор после смерти Федора избрал на царство Бориса Годунова. Так же дал свое благословение и патриарх. Бориса, как в свое время и Ивана IV, венчали на царство. Только боярская Дума  противилась избранию Бориса Годунова на царство. Но Борис Годунов был хитрым человеком, и ему, при помощи политических уловок и своего веса меж бояр и воинства, удалось сделать так, чтобы Дума присягнула ему на царство.

Причины избрания Бориса Годунова на царский престол:

1) Борис Годунов фактически управлял страной при царе Федоре Ивановиче, который имел серьёзные проблемы со здоровьем (по одной из версий, он был слабоумным) и самостоятельно править не мог. 

2) Борис Годунов в целом неплохо зарекомендовал себя в период регентства. Так, при нем были возвращены Ям, Ивангород и Корела благодаря победе в русско-шведской войне 1590 - 1595 гг.; а также при его активном содействии в России было введено патриаршество, тем самым Русская православная церковь завершила достаточно длительный процесс отделения от константинопольского патриархата (начат в 1448 году)

3) Борис Годунов успел породниться с династией Рюриковичей: его сестра Ирина являлась женой царя Федора Ивановича. Это обстоятельство стало одним из факторов его избрания на царский престол;

4) Огромную роль в избрании Годунова сыграла Русская православная церковь, в частности, патриарх Иов, который получил этот сан именно благодаря Годунову. 

5) Многие альтернативные претенденты на царский трон в период регентства Бориса Годунова "сошли со сцены": так, например, в 1586 году умер Иван Мстиславский, который являлся двоюродным братом Ивана Грозного  и был пострижен и сослан в Кирилло-Белозерский монастырь как раз Годуновым. Также в этом же году не стало Никиты Захарьева-Юрьева, шурина Ивана Грозного (брат первой жены Ивана IV Анастасии). Не стоит упускать ещё и тот факт, что в 1591 году при странных обстоятельства в Угличе погиб последний сын Ивана Грозного царевич Дмитрий. Таким образом путь на царский престол для Бориса Годунова был свободен