1. Так как аэростат движется равноускоренно, то его скорость и координата выражаются формулами:

\(v\left(t\right)\ =\ v_0+at_1\ =\ at_1\)

\(y\left(t\right)=y_0+v_0t_1+\frac{at_1^2}{2}\ =\ \frac{at_1^2}{2}\)

Аэростат вместе с предметом начинает движение с поверхности земли. Хотя это и не написано в условии, но подразумевается, что это так, поэтому начальная скорость аэростатат равна нулю. (Ось ОY направлена вверх, начало оси совпадает с началом движения аэростата). Тогда через время \(t_1=5\ c\) аэростат, а вместе с ним и предмет, будет иметь скорость \(v=10\ м/с\) и координату \(y=25\ м\), высота, на которую поднимется аэростат, равна \(h=25\ м\)

2. Предмет далее движется в поле тяжести с постоянным ускорением \(\overrightarrow{g}\). Начальная скорость предмета – это и есть скорость аэростата в момент выпадения предмета: \(v=10\ м/с\). Но на  ускорение предмета (после падения) никак не повлияет ускорение аэростата. Ускорение создается только силами, действующими на тело, а они разные для аэростата и предмета.

Если записать уравнение движения предмета, то оно будет выглядеть следующим образом:\(y=y_0+v_0t-\frac{gt^2}{2}\)

Знак “плюс” перед слагаемым \(v_0t\) показывает, что скорость в момент выпадения камня сонаправлена с осью y, знак “минус” перед \(\frac{gt^2}{2}\) – то, что ускорение противонаправлено введенной оси.

Когда предмет долетит до земли через время \(t\), то его координата \(y\) станет равна нулю, а \(y_0=h\), тогда

\(h+v_0t-\frac{gt^2}{2}=0\)

Решим это квадратное уравнение, заменив буквенные обозначения численными данными из условия. Это действие не повлияет на ответ, поскольку все исходные данные даны в системе СИ, поэтому и ответ мы получим в ней же.

\(25+10t-\frac{10t^2}{2}=0\)

\(5t^2-10t-25=0\)

\(t^2-2t-5=0\)

Определим дискриминант квадратного уравнения: \(D=4+20=24\)

\(t=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=1\pm\sqrt{6}\)

Т.к. время движения предмета \(t>0\), то время движения предмета \(t=1+\sqrt{6}\approx3,45\ с\)

Ответ: \(t=3,45\ с\)