1. Так как аэростат движется равноускоренно, то его скорость и координата выражаются формулами:

$v\left(t\right)\ =\ v_0+at_1\ =\ at_1$

$y\left(t\right)=y_0+v_0t_1+\frac{at_1^2}{2}\ =\ \frac{at_1^2}{2}$

Аэростат вместе с предметом начинает движение с поверхности земли. Хотя это и не написано в условии, но подразумевается, что это так, поэтому начальная скорость аэростатат равна нулю. (Ось ОY направлена вверх, начало оси совпадает с началом движения аэростата). Тогда через время $t_1=5\ c$ аэростат, а вместе с ним и предмет, будет иметь скорость $v=10\ м/с$ и координату $y=25\ м$, высота, на которую поднимется аэростат, равна $h=25\ м$

2. Предмет далее движется в поле тяжести с постоянным ускорением $\overrightarrow{g}$. Начальная скорость предмета – это и есть скорость аэростата в момент выпадения предмета: $v=10\ м/с$. Но на  ускорение предмета (после падения) никак не повлияет ускорение аэростата. Ускорение создается только силами, действующими на тело, а они разные для аэростата и предмета.

Если записать уравнение движения предмета, то оно будет выглядеть следующим образом:$y=y_0+v_0t-\frac{gt^2}{2}$

Знак “плюс” перед слагаемым $v_0t$ показывает, что скорость в момент выпадения камня сонаправлена с осью y, знак “минус” перед $\frac{gt^2}{2}$ – то, что ускорение противонаправлено введенной оси.

Когда предмет долетит до земли через время $t$, то его координата $y$ станет равна нулю, а $y_0=h$, тогда

$h+v_0t-\frac{gt^2}{2}=0$

Решим это квадратное уравнение, заменив буквенные обозначения численными данными из условия. Это действие не повлияет на ответ, поскольку все исходные данные даны в системе СИ, поэтому и ответ мы получим в ней же.

$25+10t-\frac{10t^2}{2}=0$

$5t^2-10t-25=0$

$t^2-2t-5=0$

Определим дискриминант квадратного уравнения: $D=4+20=24$

$t=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=1\pm\sqrt{6}$

Т.к. время движения предмета $t>0$, то время движения предмета $t=1+\sqrt{6}\approx3,45\ с$

Ответ: $t=3,45\ с$