97. Т.к. искомая точка О лежит на оси Ох, значит ее координаты О(х; 0; 0). Приравниваем расстояние от нее до данных точек: \(^{\left(x-3\right)^2+\left(0+2\right)^2+\left(0-4\right)^2=\left(x-0\right)^2+\left(0-5\right)^2+\left(0+1\right)^2}\). Раскрываем скобки, приводим подобные, получаем уравнение: -6х = 3, откуда получаем: х = -0,5.

Следовательно: искомая точка имеет координаты: О(-0,5; 0; 0).

98. Используем свойство параллелограмма: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. О(x; y; z) - середина диагоналей. Найдем O - как середину диагонали АС: \(O\left(\frac{-3+3}{2};\ \frac{-6+1}{2};\ \frac{1+1}{2}\right)\ ;\ O\left(0;-\frac{5}{2};\ 1\right)\)

O - середина диагонали BD: \(O\left(\frac{-1+x_D}{2};\ \frac{2+y_D}{2};\frac{-3+z_D}{2}\right)\)

Подставив, получим: \(\frac{-1+x_D}{2}=0;\ \frac{2+y_D}{2}=\ -2,5;\ \frac{-3+z_D}{2}=1\)

Решим полученные уравнения, получим: x=1, y=-7, z=5.

Ответ: D(1; -7; 5)

99. а) Найти длины сторон. Если длины двух сторон равны, следовательно треугольник равнобедренный.

б) В равнобедренном треугольнике высота является медианой, т.е. основание высоты - середина основания треугольника.

100. а) Длина медианы - длина отрезка СD, где D - середина стороны АВ.

б) Найти cos всех углов треугольника. cos = 0, следовательно треугольник прямоугольный.

101. Найти cos одного из углов параллелограмма. Если cos =0, то параллелограмм является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника необходимо найти длины двух смежных сторон, а затем найти их произведение.

102. Аналогично задаче № 100(б). Для нахождения площади найти длины сторон образующих прямой угол и применить формулу площади через катеты прямоугольного треугольника.

103. а) Свойство диагоналей параллелограмма (задача 98). т. О(0; 0; 0) - начало координат и точка пересечения диагоналей параллелограмма. 

б) Найти cos одного из углов параллелограмма. Если cos=0, то параллелограмм является прямоугольником. В противном случае - нет.