Колебательный контур. Превращение энергии при электромагнитных колебаниях
Материалы к уроку
Конспект урока
Колебательный контур. Превращение энергии при электромагнитных колебаниях
Электромагнитные колебания — это периодические изменения со временем электрических и магнитных величин (заряда, силы тока, напряжения, напряженности, магнитной индукции и др.) в электрической цепи. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний требуются определенные системы, простейшей из которых является колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R (это может быть сопротивление провода катушки и проводов, соединяющих катушку с конденсатором).
Идеальный контур Томсона — колебательный контур без активного сопротивления (R = 0). После того как изобрели лейденскую банку, которая является первым конденсатором, и научились сообщать ей большой заряд с помощью электростатической машины, начали изучать электрический разряд банки. Замыкая обкладки лейденской банки с помощью проволочной катушки, можно обнаружить, что стальные спицы внутри катушки намагничиваются. Здесь все было понятно: электрический ток должен намагничивать стальной сердечник катушки. Удивительным было то, что невозможно было предсказать какой конец сердечника катушки окажется северным полюсом, а какой – южным. В 1870–1880 гг. Гельмгольц Герман Людвиг Фердинанд, немецкий ученый, много занимался проблемами электродинамики, пытаясь найти критерии для выбора в пользу одной из существовавших тогда электродинамических теорий.
Под его влиянием Г. Герц провел исследования, приведшие к обнаружению электромагнитных волн. Большую роль в развитии электромагнетизма сыграли и собственные опыты Гельмгольца, поставленные им еще в 1869 г. Обратив внимание на колебательный характер разряда лейденской банки, он показал, что аналогичные колебания возникают в индукционной катушке, соединенной с конденсатором (т.е. по существу создал колебательный контур, состоящий из индуктивности и ёмкости). Повторяя опыт примерно в одинаковых условиях, в одних случаях получался один результат, а в других - другой. Позже ученые пришли к выводу, что при разрядке конденсатора через катушку возникают колебания. За время разрядки конденсатор успевает много раз перезарядиться, и ток много раз меняет направление, в результате чего сердечник может намагничиваться различным образом. Периодические или почти периодические изменения заряда силы тока и напряжения называются электромагнитными колебаниями, которые происходят с очень большой частотой, значительно превышающей частоту механических колебаний. Поэтому для их наблюдения и исследования самым подходящим прибором является электронный осциллограф. В электронно-лучевой трубке осциллографа узкий пучок электронов попадает на экран. Экран светится при бомбардировке его электронами. На горизонтально отклоняющие пластины трубки подается переменное напряжение развертки пилообразной формы. Сравнительно медленно напряжение нарастает, а потом очень резко уменьшается. Электрическое поле между пластинами заставляет электронный луч пробегать экран в горизонтальном направлении с постоянной скоростью, потом мгновенно возвращаться назад. Этот процесс повторяется. Если теперь присоединить вертикально отклоняющие пластины трубки к конденсатору, то колебания напряжения при его зарядке вызовут колебания луча в вертикальном направлении. В результате на экране образуется временная развертка колебаний, подобная той, которую вычерчивают маятник с песочницей над движущимся листом бумаги. Обычно колебания в цепи затухают за доли секунды. Поэтому используют осциллограф с экраном, способным светиться долго. Колебания в системе, которые возникают после выведения ее из положения равновесия, называются свободными колебаниями. В описываемом случае система выводится из равновесия при сообщении конденсатору заряда. Зарядка конденсатора эквивалентна отклонению маятника от положения равновесия. Рисунок иллюстрирует характерные стадии колебаний в контуре за один период. Легко получить в электрической цепи и вынужденные электромагнитные колебания, которые возникают в цепи под действием внешней периодической электродвижущей силы. При замыкании цепи переменная ЭДС создает переменный ток, и стрелка гальванометра начинает колебаться около положения равновесия. Силовые линии этого магнитного поля направлены по правилу буравчика. Свободные электромагнитные колебания возникают при разрядке конденсатора через катушку индуктивности. Вынужденные колебания же вызываются периодической ЭДС. Простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания, состоит из конденсатора и катушки, присоединенной к его обкладкам. Такая система называется колебательным контуром.
Рассмотрим, каким образом в контуре возникают электромагнитные колебания. Зарядим конденсатор, присоединив его на некоторое время к батарее с помощью переключателя. При этом конденсатор получит энергию. Между обкладками конденсатора возникнет разность потенциалов. Переведем переключатель в положение 2. Конденсатор начнет разряжаться, и в цепи появится электрический ток. Сила тока будет увеличиваться постепенно, пока достигнет максимального значения. Это обусловлено явлением самоиндукции. Появление тока порождает переменное магнитное поле. Это переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле в проводнике, которое при возрастании магнитного поля действует против тока и препятствует его мгновенному увеличению. По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля тока. Полная энергия электромагнитного поля контура будет равна сумме энергий магнитного и электрического полей. В момент, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля станет равной нулю. Энергия же магнитного поля тока согласно закону сохранения энергии будет максимальной. В этот момент сила тока также достигнет максимального значения.
Электрический ток не может прекратиться сразу. Здесь проявляется самоиндукция. Как только сила тока и созданное им магнитное поле начнут уменьшаться, возникает вихревое электрическое поле, которое поддерживает ток. В результате конденсатор будет перезаряжаться до тех пор, пока сила тока не станет равной нулю. Энергия магнитного поля в этот момент будет равна нулю, энергия электрического поля конденсатора опять станет максимальной. После этого конденсатор вновь начнет перезаряжаться, и система возвратится в исходное состояние. Если бы не было потерь энергии, то этот процесс продолжался бы сколь угодно долго. В действительности происходят потери энергии. Катушка и соединительные провода обладают сопротивлением, что приводит к постепенному превращению энергии электромагнитного поля во внутреннюю энергию проводника. В колебательном контуре энергия электрического поля заряженного конденсатора периодически превращается в энергию магнитного поля тока. Если бы сопротивления не было, то полная энергия электромагнитного поля осталась бы неизменной.
Электромагнитные колебания в контуре имеют характерные сходства со свободными механическими колебаниями тела, закрепленного на пружине. При механических колебаниях периодически изменяются координата тела и проекция его скорости, а при электромагнитных колебаниях изменяются заряд конденсатора и сила тока в цепи. Одинаковый характер изменения величин при механических и электрических колебаниях объясняется тем, что имеется аналогия в условиях, при которых порождаются механические и электромагнитные колебания. Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывается силой упругости пропорциональной смешению тела от положения равновесия. Коэффициентом пропорциональности является жесткость пружины. Разрядка конденсатора, то есть появление тока, обусловлена напряжением между пластинами конденсатора, которое пропорционально заряду. Коэффициентом пропорциональности является величина обратная емкости конденсатора. Аналогично тому, как вследствие инертности тело постепенно увеличивает скорость под действием силы, и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю, электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу, как только напряжение становится равным нулю. Индуктивность контура играет ту же роль, что и масса тела в механике. Соответственно кинетической энергии тела отвечает энергия магнитного поля тока. Зарядке конденсатора от батареи соответствует сообщение телу, прикрепленному к пружине потенциальной энергии при смещении тела на расстояние икс-эм от положения равновесия (рисунок а). Сравнивая это выражение с энергией конденсатора, замечаем, что жесткость k (ка) пружины играет при механическом колебательном процессе такую же роль как величина обратная емкости при электромагнитных колебаниях, а начальная координата икс-эм соответствует заряду ку-эм. Возникновение в электрической цепи тока и за счет разности потенциалов соответствует появлению в механической колебательной системе скорости вэ-икс под действием силы упругости пружины (рисунок б). Моменту, когда конденсатор разрядится, а сила тока достигнет максимума, соответствует прохождения тела через положение равновесия с максимальной скоростью (рисунок в). Далее конденсатор начнет перезаряжаться, а тело – смещаться влево от положения равновесия (рисунок г). По прошествии половины периода тэ конденсатор полностью перезарядится, и сила тока станет равной нулю. Этому состоянию соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю (рисунок д). Соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах можно свести в таблицу. Перейдем теперь к количественной теории процессов в колебательном контуре. Получим уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре. Рассмотрим колебательный контур, сопротивлением которого можно пренебречь.
Уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии. Значение полной электромагнитной энергии контура в любой момент времени равно сумме значений энергий магнитного и электрического полей. Эта энергия не меняется с течением времени, если сопротивление контура равно нулю.
Производная полной энергии по времени равна нулю, так как энергия постоянна. Следовательно, равна нулю сумма производных от энергии магнитного и электрического полей. Вычисляем производные по времени. То есть нужно найти производную сложной функции. Поэтому производная квадрата силы тока равна удвоенному произведению силы тока на производную силы тока по времени. То же самое относится к производной квадрата заряда. Но производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени. Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости (ускорение) есть вторая производная координаты по времени. Получили уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре. Физический смысл уравнений полученного уравнения состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак минус указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает и наоборот. Именно благодаря этому полная энергия не меняется. Уравнение, описывающее свободные электромагнитные колебания в контуре, ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения, описывающее свободные механические колебания пружинного маятника. Коэффициент ка-на-эм представляет собой квадрат собственной частоты колебаний. Поэтому и коэффициент единица на-эл-цэ так же представляет собой квадрат циклической частоты свободных электрических колебаний. Аналогию можно заметить и в формулах, определяющих период свободных колебаний в контуре.
Эта формула называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее впервые вывел.
Подобно тому, как координата при механических колебаниях изменяется со временем по гармоническому закону, так и заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону. Где дэ-макс - амплитуда колебаний заряда. Сила тока совершает гармонические колебания, где и-макс - амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе на пи-пополам колебания заряда. Точно так же колебания скорости при движении шарика, прикрепленного к пружине, или математического маятника опережают на пи-пополам колебания координаты (смещения).
Задача Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора. Индуктивность катушки уменьшили от 32 миллигенри до 4 миллигенри. Как и во сколько раз изменится в результате этого период электромагнитных колебаний в контуре? При решении задач воспользуемся формулой Томпсона. Составим отношение периодов колебаний для обоих случаев и после сокращений приходим к результату 4. Период колебаний увеличится в 4 раза, частота колебаний уменьшиться в 4 раза.
Задача Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора. Индуктивность катушки уменьшили от 32 миллигенри до 4 миллигенри. Как и во сколько раз изменится в результате этого период электромагнитных колебаний в контуре? При решении задач воспользуемся формулой Томпсона. Составим отношение периодов колебаний для обоих случаев и после сокращений приходим к результату 4. Период колебаний увеличится в 4 раза, частота колебаний уменьшиться в 4 раза.
Задача
В колебательном контуре зависимость заряда q на конденсаторе от времени t имеет вид.... Какую информацию о колебаниях заряда в контуре можно получить из этого уравнения?
Ответ: 10 амплитуда колебаний заряда в электромагнитном контуре составляет 1 десятая милликулон, а квадрат циклической частоты равен 10-пи.
В колебательном контуре зависимость заряда q на конденсаторе от времени t имеет вид.... Какую информацию о колебаниях заряда в контуре можно получить из этого уравнения?
Ответ: 10 амплитуда колебаний заряда в электромагнитном контуре составляет 1 десятая милликулон, а квадрат циклической частоты равен 10-пи.
Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!
Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ