Работа силы тяжести. Работа силы упругости. Потенциальная энергия

Работа силы тяжести. Работа силы упругости. Потенциальная энергия

Вычислим работу силы, используя зависимость сил взаимодействия между телами от расстояния между ними. Это позволит узнать зависимость работы силы не от скорости тела, а от расстояний между взаимодействующими телами.
Вычислим сначала работу силы тяжести при падении тела, например, камня, вертикально вниз. Найдем модуль перемещения тела: это разность между высотой, на которой находится камень над поверхностью Земли, в начальный момент времени и высотой в конечный момент времени. Сила тяжести направлена вертикально вниз, так же как и вектор перемещения камня. Тогда по определению работа равна произведению модуля вектора силы тяжести на модуль вектора перемещения и косинус угла ноль градусов. Подставим в формулу работы выражение, полученное  выражение для модуля вектора перемещения, и используем формулу силы тяжести. Произведем математические преобразования и  получим, что работа силы тяжести равна разности произведения массы тела на ускорение свободного падения и на высоту тела над поверхностью Земли в начальной точке и произведения массы на ускорение свободного падения и на высоту в конечной точке.
Рассмотрим теперь тело, брошенное вертикально вверх. Начальное положение тела на высоте h1, над поверхностью Земли, конечное –   на высоте h2. Векторы силы тяжести и перемещения направлены в противоположные стороны, а модуль перемещения равен разности конечной высоты и начальной. Тогда работа силы тяжести будет равна произведению модуля вектора силы тяжести на модуль вектора перемещения и на косинус угла 180 градусов. Подставляем вместо модуля вектора силы тяжести произведение массы тела на ускорение свободного падения и модуля вектора перемещения полученное для него выражение, косинус угла 180 градусов равный 1. Получаем, что работа силы тяжести и в этом случае равна разности произведения массы тела на ускорение свободного падения и на высоту тела над поверхностью Земли в начальной точке и произведения массы на ускорение свободного падения и на высоту в конечной точке.
Если же тело перемещается под углом  к направлению силы тяжести, то работа силы тяжести равна произведению массы тела на ускорение свободного падения на модуль вектора перемещения ВС и на косинус угла между направлением перемещения и направлением силы тяжести. 
Из прямоугольного треугольника BCD видно, что произведение модуля вектора перемещения на косинус угла α разности между начальной и конечной высотой.
В этом случае так же работа силы тяжести равна разности произведения массы тела на ускорение свободного падения и на высоту тела над поверхностью Земли в начальной точке и произведения массы на ускорение свободного падения и на высоту в конечной точке.
Во всех трех рассмотренных случаях - одинаковый результат и одна и та же формула работы силы тяжести. При прямолинейном движении тела работа силы тяжести в каждом случае равна разности двух значений величины, зависящей от положений тела в начальный и конечный моменты времени. Эти положения определяются начальной и конечной высотами тела над поверхностью Земли.

 

Более того, работа силы тяжести при перемещении из одного положения в другое не зависит от формы траектории, по которой движется тело. 
Работа при перемещении вдоль кривой ВС равна разности произведений массы тела на ускорение свободного падения и на высоту, на которой находится тело в начальный и конечный моменты времени.
При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю. Например, тело движется по замкнутому контуру ВСDМВ. На участках ВС и DМ сила тяжести совершает работы, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку. Сумма этих работ равна нулю. Следовательно, равна нулю и работа силы тяжести на всем замкнутом контуре.
Силы, обладающие такими свойствами, называют консервативными.

Подобно силе тяжести, сила упругости тоже является консервативной. Чтобы убедиться в этом, возьмем пружину, один конец закрепим неподвижно, а к другому концу прикрепим шар. Если пружину растянуть, то она будет действовать на шар с силой упругости, направленной к положению равновесия шара, в котором пружина не деформирована. Вычислим работу силы упругости при перемещении шара. Она равна разности полупроизведения жесткости пружины на квадрат начального удлинения и полупроизведения жесткости пружины на квадрат конечного удлинения пружины.
Работа сил упругости зависит лишь от деформаций пружины в начальный момен времени и в конечный момент времени в начальном и конечном состояниях.
Работа силы упругости не зависит от формы траектории и, так же как и сила тяжести, сила упругости является консервативной.
Работу консервативных сил можно представить в виде разности двух значений некоторой величины, зависящей от взаимного расположения тел.
Для силы тяжести начальная высота  и конечная высота определяют взаимное расположение тела и Земли. При вычислении работы силы упругости начальное и  конечное  удлинения   - взаимное расположение витков деформированной пружины или значения деформаций другого упругого тела.
Величину, равную произведению массы тела  на ускорение свободного падения  и на высоту  тела над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли.
Величину, равную половине произведения коэффициента упругости  тела на квадрат деформации, называют  потенциальной энергией упруго деформированного тела.
В обоих случаях потенциальная энергия определяется расположением тел системы или частей одного тела относительно друг друга.

Понятие потенциальной энергии дает возможность выразить работу любых консервативных сил через изменение потенциальной энергии. Работа консервативной силы равна разности потенциальной энергии в начальный момент времени и потенциальной энергии в конечный момент времени. Или   изменение потенциальной энергии тела равно работе консервативной силы, взятой с обратным знаком.
Эта формула позволяет дать общее определение потенциальной энергии.

Потенциальная энергия - это величина, которая зависит от положения взаимодействующих тел. Изменение потенциальной энергии при переходе из одного состояния в другое равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой с противоположным знаком. Потенциальной энергией обладают любые взаимодействующие тела.
Знак «-» в формуле не означает, что работа консервативных сил всегда отрицательна. Он означает лишь то, что изменение потенциальной энергии и работа сил в системе всегда имеют противоположные знаки.
Например, при падении камня на Землю его потенциальная энергия убывает, но сила тяжести совершает положительную работу. Следовательно, работа силы тяжести и изменение энергии  имеют противоположные знаки в соответствии с формулой.
Работа консервативных сил взаимодействия определяет не саму потенциальную энергию, а ее изменение.
Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то только изменение энергии в механике имеет физический смысл. Поэтому можно произвольно выбрать состояние системы, в котором ее потенциальная энергия  считается равной нулю. Этому состоянию соответствует нулевой уровень потенциальной энергии. Ни одно явление в природе или  технике  не определяется значением самой потенциальной энергии. Важна лишь разность значений потенциальной энергии в конечном и начальном состояниях системы тел.
Выбор нулевого уровня производится по-разному и диктуется исключительно соображениями удобства.
Обычно в качестве состояния с нулевой потенциальной энергией выбирают состояние системы с минимальной энергией. Тогда потенциальная энергия всегда положительна или равна нулю.
У пружины потенциальная энергия минимальна в отсутствие деформации, а у системы «камень - Земля» нулевой уровень энергии будет тогда, когда камень лежит на поверхности Земли. К данным выражениям можно добавить любую постоянную величину, и это ничего не изменит.