Момент силы. Второе условие равновесия твёрдого тела
Материалы к уроку
Конспект урока
Момент силы. Второе условие равновесия твёрдого тела
Одним из условий равновесия твердого тела является геометрическая сумма внешних сил, действующих на тело, которая должна быть равна нулю. Это условие является необходимым, но не является достаточным. Чтобы в этом убедиться проведем опыт. Приложим к дощечке, лежащей на плоской поверхности, в различных точках две силы равные по модулю, но направленные в противоположные стороны.
Сумма этих двух сил равна нулю. Но дощечка не останется в равновесии, она будет поворачиваться. Первое условие равновесия твердого тела выполняется, но тело не находится в равновесии.
Другой пример, на руль автомобиля во время поворота действуют две силы, приложенные в двух разных точках. Эти силы одинаковые по модулю и противоположно направленные. Сумма этих двух сил так же равна нулю, а руль не находится в состоянии покоя.
Почему же так происходит? Тело находится в равновесии, если сумма всех приложенных к каждому его элементу сил равна нулю. В наших примерах сумма внешних сил, приложенных к телу, равна нулю. Но если брать каждый отдельный элемент, сумма действующих на него сил может быть не равна нулю. Поэтому и дощечка, и руль в данных случаях не находятся в равновесии.
Для того чтобы выяснить, какое же еще условие должно выполняться, чтобы твердое тело находилось в равновесии, вспомним теорему об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии тела за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной за то же время силой, действующей на тело.
Рассмотрим пример, при каком условии будет оставаться в равновесии стержень, шарнирно закрепленный на горизонтальной оси в точке 0. Эта конструкция представляет собой обыкновенный рычаг. Пусть к рычагу приложены две перпендикулярные стержню силы F1 и F2. Предположим, что это силы натяжения веревок, к концам которых прикреплены грузы. Кроме этих двух сил, на рычаг ещё действует направленная вертикально вверх сила реакции опоры со стороны оси рычага F3. При равновесии рычага сумма всех трех сил равна нулю.
Найдем работу, которую совершают внешние силы при повороте рычага на очень малый угол α. Точка приложения силы F1 пройдет путь равный BB1. А точка приложения силы F2 пройдёт путь равный CC1. Так как угол α невелик, можно считать линии BB1 и CC1 отрезками прямой. Работа силы F1 положительна, потому что точка B перемещается в том же направлении, что и сила, а работа силы F2 отрицательна, так как точка приложения силы C движется в сторону противоположную направлению силы. Сила F3 работы не совершает, потому что точка 0 не перемещается.
Пройденные пути s1 и s2 можно выразить через угол поворота рычага α, измеренный в радианах. Тогда перемещение точки приложения силы F1 равно произведению угла α на длину отрезка BO. А перемещение точки приложения силы F2 равно произведению угла α на длину отрезка СO.
Подставим эти равенства в формулы работы сил F1 и F2. Получим, что работа силы F1 равна произведению модуля силы F1 на угол α и на длину отрезка ВО. Работа силы F2 равна произведению модуля силы F2 на угол α и на длину отрезка СО.
Радиусы ВО и СО дуг окружностей, описываемых точками приложения сил F1 и F2, являются перпендикулярами, опущенными из оси вращения на линии действия этих сил.
Кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы называют плечом силы.
Плечо силы обозначим буквой d. Плечо силы F1 равно d1. Плечо силы F2 равно d2.
Тогда выражения для работы сил F1 и F2 примут следующий вид. Работа силы F1 равна произведению модуля силы F1 на угол α и на плечо силы F1. Работа силы F2 равна произведению модуля силы F2 на угол α и на плечо силы F2.
Полученные формулы показывают, что при заданном угле поворота тела работа каждой приложенной к этому телу силы равна произведению модуля силы на плечо взятому со знаком «+» или «-». Это произведение называют моментом силы.
Моментом силы относительно оси вращения тела называется произведение модуля силы на ее плечо. Момент силы может быть положительным или отрицательным.
Если сила, действующая на тело, направлена так, чтобы повернуть его против часовой стрелки, то момент силы считают положительным, если по часовой, то отрицательным.
В нашем примере момент силы F1 равен произведению модуля силы F1 на плечо силы F1. Момент силы F2 равен произведению модуля силы F2 на плечо силы F2. Сила F1 стремится повернуть стержень против часовой стрелки, значит момент этой силы положительный. Сила F2 стремится повернуть стержень по часовой стрелке, значит момент этой силы отрицательный.
Следовательно, выражения для работы сил F1 и F2 можно записать в таком виде: работа силы F1 равна произведению момента силы F1 на угол α; работа силы F2 равна произведению момента силы F2 на угол α.
Полная работа внешних сил складывается из работы сил F1, F2 и F3. Работа силы F3 равна нулю, потому что точка 0 не перемещается. Подставим в формулу вместо работы сил F1 и F2 произведения моментов сил на угол поворота. Получаем, что полная работа внешних сил равна произведению суммы моментов сил F1 и F2 на угол α.
Для того чтобы тело пришло в движение, нужно чтобы увеличилась его кинетическая энергия, а для этого внешние силы должны совершить работу.
Согласно полученному уравнению, работа внешних сил может быть отлична от нуля только в том случае, если сумма моментов этих сил не равна нулю. Если же суммарный момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то их работа равна нулю. Следовательно, кинетическая энергия тела не увеличивается, то есть остается равной нулю. Значит, тело не приходит в движение.
Это есть второе условие, необходимое для равновесия твердого тела.
При равновесии твердого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.
Если же на абсолютно твердое тело действует произвольное число сил, условия равновесия абсолютно твердого тела следующие:
‒ во-первых, геометрическая сумма внешних сил, действующих на тело, равна нулю,
‒ во-вторых, сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело относительно любой оси, равна нулю.
Эти условия являются необходимыми и достаточными для равновесия твердого тела. Если они выполняются, то тело остается в равновесии.
Если же тело не является абсолютно твердым, даже при соблюдении двух условий равновесия, это тело может и не оставаться в равновесии.
Это происходит из-за того, что под воздействием приложенных к нему сил тело может деформироваться и тогда сумма всех сил, действующих на каждый его элемент, не будет равна нулю. Возьмем, например, резиновый шнур. Приложим к его концам две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур будет растягиваться, а, значит, выйдет из состояния равновесия, несмотря на то, что сумма внешних сил равна нулю и нулю равна сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура.
Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!
Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ