Идеальный газ в молекулярно-кинетической теории. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Идеальный газ в молекулярно-кинетической теории. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Известно, что частицы в газах, в отличие от жидкостей и твердых тел, располагаются друг относительно друга на расстояниях, существенно превышающих их собственные размеры. В этом случае взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало и кинетическая энергия молекул много больше энергии межмолекулярного взаимодействия. Для выяснения наиболее общих свойств, присущих всем газам, используют упрощенную модель реальных газов - идеальный газ. Идеальный газ имеет отличия от реального газа.

1. Частицы идеального газа - сферические тела очень малых размеров, практически материальные точки.
2. Между частицами отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия.
3. Соударения частиц являются абсолютно упругими.
Молекулярно-кинетическая теория рассматривает идеальный газ как модель, в которой не учитывается взаимодействие частиц и их собственный объем. Частицы непрерывно хаотично двигаются. Соударение частиц происходит по закону упругого взаимодействия. 
Состояние идеального газа и процессы, проходящие в нем, будут определяться количеством частиц (молекул), из которых состоит газ, и их микроскопическими параметрами или микропараметрами. К таким параметрам относятся: масса, диаметр, скорость, энергия.

    Однако состояние газов можно охарактеризовать физическими величинами, относящимися не к каждой молекуле, а ко всему газу в целом.  Если состояние газа не меняется, то не меняются и эти параметры. 
Температура, объем, давление принято называть макроскопическими параметрами или макропараметрами состояния газа.
   Реальные разреженные газы действительно ведут себя подобно идеальному газу. Используя модель идеального газа, объясним происхождение давления газа. Вследствие теплового движения, частицы газа время от времени ударяются о стенки сосуда. При каждом ударе молекулы действуют на стенку сосуда с некоторой силой. Складываясь друг с другом, силы ударов отдельных частиц образуют некоторую силу давления, постоянно действующую на стенку. Чем больше частиц содержится в сосуде, тем чаще они будут ударяться о стенку сосуда, и тем большей будет сила давления, а значит и давление. Чем быстрее движутся частицы, тем сильнее они ударяют в стенку сосуда.
 Проведем опыт: толкнем мяч, он начнет двигаться, затем ударится о стенку. Если мяч катится медленно, то он при ударе подействует на стенку с меньшей силой, если толкнем мяч сильнее, то он будет двигаться быстро и удар о стенку будет сильнее. 
Проведем другой опыт. Возьмем 2 мяча разного размера и толкнем с одинаковой силой, мы увидим, что сила удара большого мяча больше. Следовательно, чем больше масса частицы, тем больше сила удара. 
Посмотрите, как перемешиваются шары в игре «Спортлото». Чем быстрее двигаются шары, тем чаще они ударяют о стенки. Также и частицы газа, чем быстрее они двигаются, тем чаще они ударяются о стенки сосуда. 
Рассмотрим поведение газа в закрытом сосуде. Манометр показывает давление газа. Каждая молекула газа, ударяясь о стенку, в течение малого промежутка времени действует на нее с некоторой силой. В результате беспорядочных ударов о стенку давление быстро меняется со временем. Однако действия, вызванные ударами отдельных молекул, настолько слабы, что манометром они не регистрируются. Манометр фиксирует среднюю по времени силу, действующую на каждую единицу площади поверхности его чувствительного элемента - мембраны. Несмотря на небольшие изменения давления, среднее значение давления практически оказывается вполне определенной величиной, так как ударов о стенку очень много, а массы молекул очень малы.
 Для вычисления среднего давления надо знать среднюю скорость молекул (точнее, среднее значение квадрата скорости), которая зависит от движения всех частиц.
Но невозможно проследить за движением всех молекул, из которых состоит газ. Их слишком много, и двигаются они по очень сложным траекториям. Но нам не нужно знать, как двигается каждая молекула. Выясним, к какому результату приводит движение всех молекул газа. Молекулы участвуют в беспорядочном (тепловом) движении, поэтому скорость любой молекулы может оказаться как очень большой, так и очень малой. Направление движения молекул постоянно меняется при их столкновениях друг с другом.
Скорости отдельных молекул могут быть любыми, однако среднее значение модуля этих скоростей вполне определенное. Точно так же рост учеников в классе неодинаков, но его среднее значение - определенное число. Чтобы это число найти, надо сложить рост отдельных учеников и разделить эту сумму на число учащихся.
Обозначим модули скоростей отдельных молекул газа через в1, в2, в3 и так далее. 
Так как в дальнейшем нам понадобится среднее значение не самой скорости, а квадрата скорости. От этой величины зависит средняя кинетическая энергия молекул. Средняя кинетическая энергия молекул имеет очень большое значение во всей молекулярно-кинетической теории.
Среднее значение квадрата скорости 
равно сумме квадратов скоростей всех молекул, деленной на  число молекул в газе. 
Скорость - векторная величина, и молекулы двигаются в сосуде в различных направлениях, поэтому мы должны учитывать, что квадрат модуля любого вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат ОХ, ОY, ОZ. Поэтому
В в квадрате равно сумме В икс в квадрате, В игрек в квадрате, В зет в квадрате.
Средние значения величин В икс в квадрате, В игрек в квадрате, В зет в квадрате можно определить с помощью формул, подобных формуле под номером один (1).  Между средним значением квадрата проекции скорости Вэ и средними значениями квадратов проекций существует такое же соотношение, как соотношение в формуле под номером 2.
Это равенство справедливо для каждой молекулы. Сложив такие равенства для отдельных молекул и разделив обе части полученного уравнения на число молекул, мы получим В среднее в квадрате равно сумме В икс в квадрате среднее, В игрек в квадрате среднее, В зет в квадрате среднее.
Так как направления трех осей ОХ, ОY и OZ вследствие беспорядочного движения молекул равноправны, средние значения квадратов проекций скорости равны друг другу,    подставим в формулу. Тогда для среднего квадрата проекции скорости получим, что средний квадрат проекции скорости равен 1/3 среднего квадрата самой скорости, где множитель 1/3 (1 к трем) появляется вследствие трехмерности пространства и соответственно существования трех проекций у любого вектора.
Скорости молекул беспорядочно меняются, но средний квадрат скорости вполне определенная величина.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Справедливость этого уравнения была экспериментально доказана в XIX в., после чего началось быстрое развитие количественной теории, продолжающееся по сегодняшний день.
В этом уравнении можно увидеть зависимость давления газа от средней кинетической энергии его молекул.  
Вычислим давление газа на стенку CD сосуда ABCD площадью S, перпендикулярную координатной оси OX.
Каждая молекула обладает своим импульсом. При ударе молекулы о стенку ее импульс изменяется. Так как модуль скорости молекул при ударе не меняется, то ∆р=2*m0V0x. дельта пэ равно 2 эм нулевое на Вэ нулевое по икс.
Согласно второму закону Ньютона, изменение импульса молекулы равно импульсу подействовавшей на нее силы со стороны стенки сосуда, а согласно третьему закону Ньютона таков же по модулю импульс силы, с которой молекула подействовала на стенку. Следовательно, в результате удара молекулы на стенку подействовала сила, импульс которой равен дельта пэ равно 2 эм нулевое на Вэ нулевое по икс.
Молекул много, и каждая из них передает стенке при столкновении такой же импульс. За секунду они передадут стенке импульс,  где Z - число столкновений всех молекул со стенкой за это время. Число прямо пропорционально концентрации молекул,  скорости молекул. Чем больше эта скорость, тем больше молекул за секунду успеет столкнуться со стенкой. Если бы молекулы «стояли на месте», то столкновений их со стенкой не было бы совсем. Число столкновений молекул со стенкой пропорционально площади поверхности стенки. В среднем только половина всех молекул движется к стенке, так как другая половина движется в обратную сторону. Значит, число ударов молекул о стенку за время 1 с равно половине произведения количества молекул на площадь стенок на  скорость и полный импульс, переданный стенке за 1 с, равен произведению массы молекулы на их количество  на площадь стенок S на квадрат скорости.
Согласно второму закону Ньютона изменение импульса любого тела за единицу времени равно действующей на него силе.

Учтем, что не все молекулы имеют одно и то же значение квадрата скорости. В действительности средняя за секунду сила, действующая на стенку, пропорциональна среднему квадрату скорости. 
Согласно формуле, получается.
В тоже время давление равно отношению силы к площади поверхности.
Следовательно, получаем: давление газа прямо пропорционально концентрации частиц, массе частицы и квадрату скорости частицы. Это и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.
Эта формула связывает макроскопическую величину - давление, которое может быть измерено манометром,  с микроскопическими величинами, характеризующими молекулы: их массой, скоростью хаотичного движения.
Зависимость давления идеального газа от концентрации и от средней кинетической энергии частиц выражается основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа.
Если через  обозначить среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы, то уравнение можно записать в виде пэ равно две трети эн умноженное на е кинетическое.
Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул и средней кинетической энергии поступательного движения молекул.
Основное уравнение молекулярно- кинетической теории идеального газа можно преобразовать и найти зависимость давления от плотности газа. Концентрация молекул равна числу молекул в единице объема, а кинетическая энергия равна половине произведения массы на квадрат скорости, подставим эти формулы в основную и   получим, что давление газа равно ⅓ произведения плотности газа и среднего квадрата скорости.