Мгновенная скорость. Сложение скоростей

Ни одно тело не может двигаться все время с постоянной скоростью. Трогаясь с места, велосипедист увеличивает свою скорость. Далее в течение какого-то промежутка времени он движется с постоянной или почти постоянной скоростью, но все же когда-нибудь ему придется остановиться. Для этого велосипедист тормозит – уменьшает скорость движения до нуля. При этом за одинаковые промежутки времени он перемещается на различные расстояния, то есть движется неравномерно. В каждой точке траектории значения скорости велосипедиста разные.
Скорость тела в данной точке траектории или в данный момент называют мгновенной скоростью. Необходимо уметь рассчитывать мгновенную скорость в данный момент времени для того, чтобы задать неравномерное движение.
Чтобы понять, что же такое мгновенная скорость, представим себе, что велосипедист, трогаясь с места, ускоряется в течение 20 секунд. Если найти отношение перемещения велосипедиста во время разгона к времени разгона, мы получим среднюю скорость на этом участке пути. Но это не значит, что в каждый момент времени реальная скорость велосипедиста была именно такой. Напротив, в начале пути скорость была равна нулю, а в конце разгона скорость была гораздо больше полученной средней скорости. 
Если же мы разделим участок пути, на котором скорость увеличивалась, на две равные по времени части и вычислим среднюю скорость для каждого участка отдельно, то мы получим совершенно разные значения средней скорости для каждого участка. Средняя скорость на первом участке будет меньше, чем на втором.
Если разделить все время разгона на 10 равных частей и вычислить средние скорости для каждого участка отдельно, то мы получим, что средняя скорость на первом участке совсем невелика, на втором – больше, на третьем – еще больше. А на десятом участке средняя скорость будет самая большая. Это и понятно – ведь велосипедист разгоняется. Такие значения скоростей будут гораздо точнее характеризовать неравномерное движение, чем средняя скорость на всем участке.
Но все же скорость на каждом из десяти участков в любой момент времени будет равна средней скорости на этом участке лишь приближенно. Реальная скорость в начале участка будет меньше средней, а в конце участка  больше.  
Если разделить все время разгона на 20 равных частей и вычислить средние скорости для каждого участка, то мы получим значения средних скоростей для каждого участка. Эти значения будут еще точнее характеризовать движение.
Чем меньше будут эти временные промежутки, тем меньше будет отличие между скоростями соседних участков и тем точнее будут значения этих скоростей.  
Если устремить промежуток времени к нулю, то отношение малого перемещения к малому промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло, будет стремиться к определенному значению. Это и есть мгновенная скорость точки в данный момент времени. 
Мгновенная скорость точки – это предел отношения перемещения точки к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло, при устремлении промежутка времени к нулю.

Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории движения. В этом можно наглядно убедиться, посмотрев на любые отделяющиеся от вращающегося тела части. К примеру, грязь, вылетающая из-под колес автомобиля, она отделяется от колеса и летит вдоль линии, касательной к поверхности колеса, так как кусочки грязи в момент отрыва имеют скорость равную скорости поверхности колеса. Аналогичным примером может служить процесс заточки ножа при помощи точильного круга. Вылетающие искры будут двигаться по касательной к поверхности круга.
Понятие мгновенной скорости относится к точке. В дальнейшем, когда мы будем говорить о скорости движения тела, будем иметь в виду скорость какой-либо точки этого тела.
Механическое движение относительно: тело вполне может покоиться в одной системе отсчета и при этом двигаться в другой системе отсчета с одной скоростью, а в третьей системе с другой скоростью. Траектория движения одного и того же тела в разных системах отсчета также будет различной. Рассмотрим пример, человек лежит в поезде, который в свою очередь движется относительно Земли. В этом примере человек относительно поезда имеет нулевую скорость, а относительно Земли будет двигаться со скоростью движения поезда. Некоторая точка, находящаяся на пропеллере летящего вертолета, описывает окружность в системе отсчета, связанной с вертолетом, а в системе отсчета, связанной с посадочной площадкой, находящейся на поверхности Земли, та же самая точка будет описывать уже не окружность, а винтовую линию.
Перемещение тела, пройденный им путь, а также его скорость тоже изменяются, если мы переходим от одной системы отсчета к другой. Пассажир поезда неподвижен относительно движущегося поезда, перемещение и путь человека по отношению к поезду равны нулю. Но по отношению к деревьям или зданиям, расположенным вдоль железной дороги, они имеют некоторые ненулевые значения.

Решая практические задачи, достаточно часто требуется вычислить перемещение либо скорость тела в некоторой системе отсчета, если значения этих величин уже известны, но относительно другой системы отсчета. Рассмотрим пример. Для того чтобы составить расписание движения теплохода, необходимо знать его скорость в системе отсчета, связанной с берегом и скорость течения реки тоже относительно берега. Предположим, что теплоход, плывущий по реке, имеет определенную собственную скорость. Тогда в системе отсчета, связанной с берегом, при движении теплохода вниз по течению реки модуль его скорости будет больше, а при движении вверх против течения – меньше собственной скорости теплохода.
Скорость течения реки относительно берега измерить достаточно просто, вычислить скорость теплохода относительно воды тоже не составит труда. Теперь зная все необходимые величины, мы можем вычислить скорость движения теплохода относительно берега. Так как скорость является величиной векторной, скорость теплохода относительно берега будет равна векторной сумме вектора скорости движения теплохода в системе отсчета, связанной с водой в реке и  вектором скорости течения воды. Если теплоход движется по течению, то векторы скорости теплохода относительно воды и воды относительно берега сонаправлены. Соответственно проекции этих векторов будут иметь одинаковые знаки, поэтому модуль вектора суммы векторов будет больше модуля вектора скорости теплохода относительно воды в реке. Если же теплоход идет против течения реки, то вектор скорости теплохода относительно воды будет направлен противоположно вектору скорости течения воды. Проекции этих векторов будут иметь противоположные знаки, значит, модуль вектора суммы векторов будет меньше модуля вектора собственной скорости теплохода.
Это подтверждается нашими наблюдениями: что теплоход, идущий по течению, движется относительно берега значительно быстрее, такого же теплохода, движущегося против течения воды в реке.
Эти рассуждения можно распространить на любое тело, движущееся в подвижной системе отсчета. Если тело движется в системе отсчета К1, которая сама движется относительно другой системы отсчета К2, то скорость движения этого тела относительно системы К2 равна геометрической сумме скорости тела в системе К1 и скорости движения системы отсчета К1 относительно системы отсчета К2. Это и есть закон сложения скоростей.
    Закон сложения скоростей можно получить и по-другому. Мы уже изучали закон сложения перемещений. В нем говорится о том, что перемещение тела в подвижной системе отсчета относительно неподвижной системы отсчета равно геометрической сумме перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Разделим обе части этого уравнения на промежуток времени, в течение которого происходило перемещение. В результате имеем, что отношение перемещения тела относительно неподвижной системы отсчета к промежутку времени равно  отношению перемещения тела относительно подвижной системы отсчета к промежутку времени плюс отношению перемещения самой подвижной системы относительно неподвижной к тому же промежутку времени.
Согласно определению, отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого оно произошло, равно скорости тела. Отсюда следует, что скорость тела, движущегося в подвижной системе отсчета относительно неподвижной, равна геометрической сумме скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной и скорости тела в подвижной системе отсчета.
Как любое векторное уравнение, закон сложения скоростей для движения на плоскости можно записать как два уравнения для сложения проекций скоростей.

Проекция вектора скорости тела на ось Х относительно системы отсчета К2 равна сумме проекции на ось Х вектора скорости тела относительно системы К1 и проекции на ось Х скорости системы отсчета К1 относительно системы отсчета К2. Проекция вектора скорости тела на ось Y относительно системы отсчета К2 равна сумме проекции на ось Y вектора скорости тела относительно системы К1 и проекции на ось Y скорости системы отсчета К1 относительно системы отсчета К2.
Проекции скоростей складываются алгебраически.